PCA算法的学习

引入

主成分分析（Principal components analysis，简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA。
PCA算法主要用于（1）高维数据集的探索与可视化。2）数据压缩。3）数据预处理。4）图象、语音、通信的分析处理。5）降维(最主要)，去除数据冗余与噪声。

1 PCA的思想

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据。
我们希望将这m个数据的维度从n维降到n’维，希望这m个n’维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n’维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n’维的数据尽可能表示原来的数据呢？

PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。数据从原来的坐标系转换到新的坐标系，新坐标系的选择是由数据本身决定的。第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向，第二个新坐标轴选择和第一个坐标轴正交且具有最大方差的方向。该过程一直重复，重复次数为原始数据中特征的数目。我们会发现，大部分方差都包含在最前面的几个新坐标轴中。因此，我们可以忽略余下的坐标轴，即对数据进行降维处理。

2 PCA的算法流程

1. 去平均值，即每一位特征减去各自的平均值；
2. 计算协方差矩阵；
3. 计算协方差矩阵的特征值与特征向量；
4. 对特征值从大到小排序；
5. 保留最大的个特征向量；
6. 将数据转换到个特征向量构建的新空间中。

3 PCA算法实现一般流程：

1. 对数据进行归一化处理；
2. 计算归一化后的数据集的协方差矩阵；
3. 计算协方差矩阵的特征值和特征向量；
4. 保留最重要的k个特征（通常k要小于n）；
5. 找出k个特征值相应的特征向量
6. 将m * n的数据集乘以k个n维的特征向量的特征向量（n * k）,得到最后降维的数据。

PCA降维准则：

1. 最近重构性：样本集中所有点，重构后的点距离原来的点的误差之和最小。
2. 最大可分性：样本在低维空间的投影尽可能分开。

PCA算法优点：

1. 使得数据集更易使用；
2. 降低算法的计算开销；
3. 去除噪声；
4. 使得结果容易理解；
5. 完全无参数限制。

PCA算法缺点：

1. 如果用户对观测对象有一定的先验知识，掌握了数据的一些特征，却无法通过参数化等方法对处理过程进行干预，可能会得不到预期的效果，效率也不高；
2. 特征值分解有一些局限性，比如变换的矩阵必须是方阵；
3. 在非高斯分布情况下，PCA方法得出的主元可能并不是最优的。

算法核心

# 定义PCA算法
def PCA(data, r):
    data = np.float32(np.mat(data))
    rows, cols = np.shape(data)
    data_mean = np.mean(data, 0)  # 对列求平均值
    A = data - np.tile(data_mean, (rows, 1))  # 将所有样例减去对应均值得到A
    C = A * A.T  # 得到协方差矩阵
    D, V = np.linalg.eig(C)  # 求协方差矩阵的特征值和特征向量
    V_r = V[:, 0:r]  # 按列取前r个特征向量
    V_r = A.T * V_r  # 小矩阵特征向量向大矩阵特征向量过渡
    for i in range(r):
        V_r[:, i] = V_r[:, i] / np.linalg.norm(V_r[:, i])  # 特征向量归一化

    final_data = A * V_r
    return final_data, data_mean, V_r

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/33191810

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