高等数学上册 第七章 微分方程 知识点

微分方程

（1）什么是微分方程：

函数及其导数的关系式

n阶微分方程形式是F(x,y,y

′

,⋅⋅⋅,y

(n)

)=0，y

(n)

必须出现，其它可以不出现

（2）什么是解微分方程：

找出未知函数

（3）微分方程的阶：

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数

（4）微分方程的通解

如果微分方程的解中含有任意常数，则任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解

（5）初值条件与特解

要确定常数的值，如果是一阶微分方程，则要给出条件：x=x

0

时，y=y

0

如果是二阶微分方程，则要给出条件：x=x

0

时，y=y

0

，y

′

=y

0

′

当有了初值条件并确定了通解中的任意常数之后，得到的就是微分方程的特解

（6）初值问题

求微分方程满足初值条件的特解的问题

（7）微分方程的积分曲线

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线

但一阶微分方程y

′

=1的解的图形是直线

（8）（一阶）可分离变量的微分方程：g(y)dy=f(x)dx

（9）（一阶）齐次方程

dx

dy

=φ(

x

y

)，

x

y

是一起出现的，是一个整体

解题步骤：1、u=

x

y

，2、y=xu，3、

dx

dy

=u x

dx

du

（10）一阶线性微分方程

dx

dy

P(x)y=Q(x)，当Q(x)≡0，则是齐次的，否则为非齐次的

对应齐次方程的通解：y=Ce

−∫P(x)dx

利用常数变易法，将常数C替换为x的未知函数u(x)，以此来求非齐次的通解：

y=Ce

−∫P(x)dx

e

−∫P(x)dx

∫Q(x)e

∫P(x)dx

dx

（11）伯努利方程

dx

dy

P(x)y=Q(x)y

n

，当n=0或n=1时，该方程是线性微分方程，否则不是线性的

但是可以化为线性的，令z=y

1−n

，则

dx

dz

(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)

求出通解后，再以y

1−n

代换z求出伯努利方程的通解

（12）可降阶的高阶微分方程

y

(n)

=f(x)型

y

′′

=f(x,y

′

)型，设y

′

=p

y

′′

=f(y,y

′

)型，设y

′

=p

（13）二阶线性微分方程

dx

2

d

2

y

P(x)

dx

dy

Q(x)y=f(x)，当f(x)≡0，则是齐次的，否则为非齐次的

定理1：如果y

1

(x)和y

2

(x)是二阶齐次线性方程的两个解，则y=C

1

y

1

(x) C

2

y

2

(x)也是它的解

但不是通解，因为如果y

1

(x)和y

2

(x)线性相关，则解可化为y=Cy

1

(x)，这显然不符合通解的性质（通解中常数个数与阶数相同）

定理2：如果y

1

(x)和y

2

(x)是二阶齐次线性方程两个线性无关的两个特解，则y=C

1

y

1

(x) C

2

y

2

(x)是通解

定理3：二阶非齐次线性方程的通解结构为对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和

定理4（叠加原理）：求二阶非齐次线性方程的特解的一个方法：如果方程右端是f

1

(x) f

2

(x)，y

1

∗

(x)、y

2

∗

(x)为对应的特解，则y

1

∗

(x) y

2

∗

(x)为原方程的特解

（14）线性相关

函数组的线性相关：如果存在n个不全为0的常数，使得k

1

y

1

k

2

y

2

⋅⋅⋅ k

n

y

n

≡0，则称这n个函数线性相关，否则线性无关

对应与两个函数的情形，只要它们的比是常数，则为线性相关，否则线性无关

（15）什么是线性微分方程：函数及其各阶导数都是一次的

（16）常系数齐次线性微分方程

由上述定理2可知，如果能找到线性无关的两个特解，就能得到通解，但特解不是那么好求的，因此先来解决常系数齐次线性微分方程的问题

二阶常系数齐次线性微分方程：y

′′

py

′

qy=0，该方程的解是什么类型的函数呢？

⎩

⎨

⎧

如果是幂函数，如x

2

，则y

′

=2x，y

′′

=2，方程中的x

2

和x消不掉啊

如果是对数函数，如lnx，则y

′

=

x

1

，y

′′

=−

x

2

1

，方程中的lnx、

x

1

和−

x

2

1

都消不掉

同样的道理，三角函数、反三角函数也不行

此时想到了e

rx

，y

′

=re

rx

，y

′′

=r

2

e

rx

，将其代入得(r

2

pr q)e

rx

=0，只要解出r使其满足r

2

pr q就能得到原函数

特征方程：r

2

pr q=0

⎩

⎨

⎧

当p

2

−4q>0，不等实根

当p

2

−4q=0，相等实根，此时y

1

=e

r

1

x

，设y

2

=u(x)y

1

，得y

2

=xe

r

1

x

当p

2

−4q<0，一对共轭复根，此时y

1

=e

ax

cosbx，y

2

=e

ax

sinbx

n阶常系数齐次线性微分方程：

用记号D（微分算子）表示对x的求导运算，因此Dy表示y对x求导，D

n

y表示n阶导数

形式：(D

n

p

1

D

n−1

⋅⋅⋅ p

n−1

D P

n

)y=0，即L(D)y=0，L(D)叫做D的n次多项式

k重实根r，通解为e

rx

(C

1

C

2

x ⋅⋅⋅ C

k

x

k−1

)

一对k重复根：，通解为e

ax

[(C

1

C

2

x ⋅⋅⋅ C

k

x

k−1

)cosbx (D

1

D

2

x ⋅⋅⋅ D

k

x

k−1

)sinbx]

（17）常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程：y

′′

py

′

qy=f(x)

{

f(x)=e

λx

P

m

(x)，特解y

∗

=x

k

R

m

(x)e

λx

，k取0、1或2

f(x)=e

λx

[P

l

(x)cosωx Q

n

(x)sinωx]

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