01背包问题C++
原题链接:https://www.acwing.com/problem/content/2/
算法标签:01背包 动态规划
分析过程:
一、确定方程状态:dp[i][j]表示处理完第i件物品(不取或取),背包容积为j时所获取的最大价值
二、建立状态转移方程:dp[i][j] = max( dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] w[i] )
三、考虑初始状态
法一:经典01背包解法
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1009][1009];
int main(){
int n, m;
int v[1009], w[1009];
cin >> n >> m;
for( int i=1; i<=n; i ){
cin >> v[i] >> w[i];
}
for( int i=1; i<=n; i ){
for( int j=v[i]; j<=m; j ){
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] w[i]);
}
}
cout << dp[n][m];
return 0;
}
法二:空间优化
根据样例分析,绘制表格如下:
对于dp[i][j],不取第i件物品时的 dp[i-1][j] 来自该列的上一行的表格值,取第i件物品时的 dp[i-1][j-v[i]] w[i] 来自上一行的左边部分的表格值,所以说,对于优化后的状态转移方程:dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] w[i]),如果内层循环是 int j=v[i]->m 的话,dp[j] 会覆盖原来的值,状态转移方程里的 dp[j-v[i]] 就来自当前行。相反,如果将循环改为 int j=m->v[i],每次计算 dp[j] 时用到的数据都是来自上一次的数据,刚好符合我们的计算规则。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1009];
int main(){
int n, m;
int v[1009], w[1009];
cin >> n >> m;
for( int i=1; i<=n; i ){
cin >> v[i] >> w[i];
}
for( int i=1; i<=n; i ){
for( int j=m; j>=v[i]; j-- ){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] w[i]);
}
}
cout << dp[m];
return 0;
}
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