从零开始傅里叶变换

1.前言

    傅里叶变换是很多领域的基础工具，常用来做频域变换。但凭什么傅里叶变换可以转换至频域，又什么是频域。看门见山。
    连续傅里叶变换公式:
F ( w ) = < f ( t ) , e i w t > = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t (1.1) F(w) = <f(t),e^{iwt}>=\int_{-\infty}^{ \infty}f(t)e^{-iwt}dt\tag{1.1} F(w)=<f(t),eiwt>=∫−∞ ∞f(t)e−iwtdt(1.1)
    单单看这个公式确实让人头大。还好鲁迅说过把复杂的问题拆分成各个简单的问题，解决完简单的问题，再和起来，就解决了复杂的问题。

    根据上图，我们就可得出，傅里叶变换是
        原信号$f(t)$和 e i w t e^{iwt} eiwt的内积=$F(w)$(即原信号在角频率w上的分量)
等价于
        原信号f(t)与 e − i w t e^{-iwt} e−iwt在所有时间上的积分。
我们现在这里给出最终结论：
傅里叶变换的本质就是内积，而内积的对象是由同频三角函数组成的 e i w t e^{iwt} eiwt。通过与 e i w t e^{iwt} eiwt的内积（投影），分离出角频率为w的分量，而 ∫ − ∞ ∞ \int_{-\infty}^{ \infty} ∫−∞ ∞就是将信号每个时刻的w的分量叠加（即振幅）。
    为什么和 e i w t e^{iwt} eiwt一参合就到频域上了。我们继续一步步拆开 e i w t e^{iwt} eiwt看看它到底意味着什么？

2. e i w t e^{iwt} eiwt的秘密

2.1 从e说起

    e是自然常数，等于2.718281828459。好奇心又来了，为什么这个叫自然常数呢，这个2.71828…怎么看都不自然啊？先甩大招：
    e的定义式为：
lim ⁡ n → ∞ ( 1 1 n ) n = e (2.1.1) \lim\limits_{n \to \infty}(1 \frac {1} {n})^n=e \tag{2.1.1} n→∞lim(1 n1)n=e(2.1.1)
    公式表明当n趋于无穷大的时候 ( 1 1 n ) n (1 \frac {1} {n})^n (1 n1)n等于e。哦吼，这有什么特殊含义嘛？
    举个栗子，我在银行存了1元钱，年利率100%数学表达式为
( 1 100 % 1 ) 1 = 2 元 (1 \frac{100\%}{1})^1=2元 (1 1100%)1=2元
    但是一想，好像有点亏，我放了一年就计算一次利息，如果要是每月结一次利息就好了，利滚利就更多了，那就是
( 1 100 % 12 ) 12 = 2.613 元 (1 \frac{100\%}{12})^{12} =2.613元 (1 12100%)12=2.613元
    让我们更贪婪一点，要是每天算一次，每小时算一次，甚至时时刻刻都算一次，那能拿多少
lim ⁡ n → ∞ ( 1 1 n ) n = e \lim\limits_{n \to \infty}(1 \frac {1} {n})^n=e n→∞lim(1 n1)n=e
    哦豁，就是e了。
    从每年算一次，到每时每刻算，是从离散到连续的过程。而在大千世界中，事物都是动态连续变化的，系统的此时的变量会参与到下一时刻的变化。
    式（2.11）说明一个单位状态量的变化率是固定100%的系统，e代表了在一个单位时间内，连续的翻倍增长所能达到的极限值。
    那如果变化率没那么巧，是100%呢?不妨设年利率是x，式（2.1.1）即为
lim ⁡ n → ∞ ( 1 x n ) n = lim ⁡ n → ∞ （ ( 1 1 n / x ) n / x ) x = e x (2.1.2) \lim\limits_{n \to \infty}(1 \frac {x} {n})^n=\lim\limits_{n \to \infty}（(1 \frac {1} {n/x})^{n/x} )^x=e^x \tag{2.1.2} n→∞lim(1 nx)n=n→∞lim（(1 n/x1)n/x)x=ex(2.1.2)
    由上可得，一个单位状态量的变化率是固定值的系统，其状态就可以用自然常数的指数函数来表示。
    前面我们考虑的都是单位时间，我们再把时间加入考虑范围，设时间为t，则：
f ( t ) = e x t (2.1.3) f(t) =e^{xt} \tag{2.1.3} f(t)=ext(2.1.3)
    哈哈哈，好了，我们发现和 e i w t e^{iwt} eiwt是令x=iw，让我们继续往下看。

2.2 i复数的几何意义

    我们都知道$1\ast (-1)=-1；1\ast (-1)\ast (-1)=1$。引入几何学，画出下图：

    可以发现，在上图中，*（-1）在几何中，等价于逆时针旋转180度。那好奇猫肯定要问了，如果我偏要旋转90度呢？
    旋转180度等于$\ast (-1)$为已知条件。我们设i为旋转90度需要乘的数。
即我们旋转180度，需要乘2次i，可得$1\ast i\ast i=-1$。
    化简得
i = − 1 2 (2.2.1) i=\sqrt[2]{-1}\tag{2.2.1} i=2−1 (2.2.1)
    画图得

    如此一来，我们构建出了一个2维坐标系，好玩的就变多了。
    以前我们表达一个二维平面点需要2个数（x，y），但是现在用上i后，我们发现一个复数就可以表示一个点的位置。

    一个数表示原来2个数因此称这个数为复数。

2.3 e i x = c o s ( x ) i s i n ( x ) e^{ix}=cos(x) isin(x) eix=cos(x) isin(x) 欧拉！

    前面的文章我们讲到e，i这两个神奇的数字，但并未说明他们有什么关联。历史告诉我们，当世界支离破碎的时候，常常就会天降猛男。同理这时候，欧拉来了，带来了欧拉公式：
e i x = c o s ( x ) i s i n ( x ) (2.3.1) e^{ix} = cos(x) isin(x)\tag{2.3.1} eix=cos(x) isin(x)(2.3.1)
    关于欧拉公式通过泰勒级数的推导，可以看下面的文章
                    https://baijiahao.百度.com/s?id=1681031751212927869&wfr=spider&for=pc
    下面通过直观的图形化过程进行讲解。
e i x = lim ⁡ n → ∞ ( 1 i x / n ) n (2.3.2) e^{i x}=\lim _{n \rightarrow \infty}(1 i x / n)^{n} \tag{2.3.2} eix=n→∞lim(1 ix/n)n(2.3.2)
    通过matlab绘制公式2.3.2图

x = 0:10:1000;			%任意值
n = 10000000000;		%n趋于无穷大
e_ix =(1 x* i./n).^n;	%计算e_ix值
compass(e_ix);			%画出罗盘图

得到

    由图可得，无论x为任何值， e i x e^{i x} eix为单位圆（以原点为圆心，半径为1的圆）上的一点。
由此，我们可以得出下图

    同理可得，$cos(x)isin(x)$为复平面上的一点，或者表示为以0为起点的一个向量。
    因此，傅里叶公式中的 e i w t e^{iwt} eiwt即等价为$cos(wt)i\ast sin(wt)$的向量，模长为1，相位为$wt$。

2.4 <>内积

    接着我们继续理解内积的意义。内积用于向量的计算，以向量 a ⃗ = ( 1 , 2 ) , b ⃗ = ( 1 , 0 ) \vec{a}=(1,2),\vec{b}=(1,0) a =(1,2),b =(1,0)为例：
$$<(1,2)，(1,0)>=|(1,2)|\ast |(1,0)|\ast cos(\theta )=1\ast 12\ast 0=1$$
    其几何含义为向量 a ⃗ \vec{a} a 在向量 b ⃗ \vec{b} b 上的投影，内积的结果即为系数。如果2个向量夹角为90度，则$cos(\theta )=0$,其内积为0，即2个向量正交。
    同理如果将向量扩展至n维，则其内积为
< a ⃗ , b ⃗ > = a 1 ∗ b 1 a 2 ∗ b 2 . . . a n ∗ b n = ∑ i = 1 n ( a i ∗ b i ) <\vec{a},\vec{b}> =a_1*b_1 a_2*b_2... a_n*b_n = \sum_{i=1}^{n}(a_i*b_i) <a ,b >=a1∗b1 a2∗b2... an∗bn=i=1∑n(ai∗bi)
    继续将其扩展至函数，函数是连续的，连续(即dx趋于无穷小)的累加为积分。令$a=f(x),b=g(x)$
< a , b > = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ∗ g ( x ) ∗ d x (2.4.1) <a,b> =\int_{-\infty}^{ \infty}f(x)*g(x)*dx\tag{2.4.1} <a,b>=∫−∞ ∞f(x)∗g(x)∗dx(2.4.1)
    继续扩展至复函数， i = ( − 1 ) 0.5 i=(-1)^{0.5} i=(−1)0.5,复平面上的向量$a=1i$则
$$<a,a>=|1i|\ast |11i|\ast cos(\theta )=1\ast 1-i\ast i=1\ast 1i\ast (-i)=2$$
    由于复平面上 i = ( − 1 ) 0.5 i=(-1)^{0.5} i=(−1)0.5，为了保证内积结果为正数，即保证投影的结果为正。内积计算需将虚部部分变为相减,等价于其中一个向量取共轭（ a ⃗ = 1 i \vec{a}=1 i a =1 i取共轭为 a ‾ = 1 − i \overline{a} =1-i a=1−i）。

    同理，推广至复函数，设a,b为复函数，则内积计算为
< a , b > = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ∗ g ( x ) ‾ ∗ d x (2.4.2) <a,b> =\int_{-\infty}^{ \infty}f(x)*\overline{g(x)}*dx\tag{2.4.2} <a,b>=∫−∞ ∞f(x)∗g(x)∗dx(2.4.2)
    因此我们设信号函数为 f ( t ) , g ( t ) ‾ = e i w t f(t),\overline{g(t)}=e^{iwt} f(t),g(t)=eiwt,则函数内积为
< f ( t ) , e i w t > = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t (2.4.3) <f(t),e^{iwt}>=\int_{-\infty}^{ \infty}f(t)e^{-iwt}dt\tag{2.4.3} <f(t),eiwt>=∫−∞ ∞f(t)e−iwtdt(2.4.3)
    式2.4.2，如果大家还记得的话，就是文章开头的公式。
    我们推导得到了傅里叶变换的含义是信号$f(t)$与 e i w t e^{iwt} eiwt的内积。2.3的部分我们得到了 e i w t = c o s ( w t ) i ∗ s i n ( w t ) e^{iwt} = cos(wt) i*sin(wt) eiwt=cos(wt) i∗sin(wt)， e i w t e^{iwt} eiwt是复平面上的单位向量。
    因此，傅里叶公式的直观意义就是信号$f(t)$在复平面上任一单位向量 e i w t e^{iwt} eiwt的投影，结果为其系数。
    至此，我们关于傅里叶变换的问题变为 为什么选择在 e i w t e^{iwt} eiwt上做投影，又为什么和频域挂上钩的？

2.5 三角函数的妙用

    三角函数($sin,cos$)是完备的正交函数集。什么意思呢？
    三角函数系为：
{ s i n ( 0 x ) , c o s ( 0 x ) , s i n ( x ) , c o s ( x ) , s i n ( 2 x ) , c o s ( 2 x ) , . . . . , s i n ( n x ) , c o s ( n x ) } \{sin(0x),cos(0x),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),....,sin(nx),cos(nx)\} {sin(0x),cos(0x),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),....,sin(nx),cos(nx)}
    完备的正交函数集的意思为在上述集合中，任选2个元素，其内积为0，即正交。比如：
< c o s ( 0 x ) , c o s ( x ) > = ∫ − π π c o s ( 0 x ) ∗ c o s ( x ) d x = ∫ − π π 1 d x ∫ − π π c o s ( x ) d x = 0 <cos(0x),cos(x)> = \int_{-\pi}^{\pi}cos(0x)*cos(x) dx= \int_{-\pi}^{\pi}1dx \int_{-\pi}^{\pi}cos(x)dx=0 <cos(0x),cos(x)>=∫−ππcos(0x)∗cos(x)dx=∫−ππ1dx ∫−ππcos(x)dx=0
    $sin(wt),cos(wt)$函数随着w的变化，频率发生变化。根据上述定义，可得，不同频率的三角函数内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。
    通过 e i w t = c o s ( w t ) i ∗ s i n ( w t ) e^{iwt} = cos(wt) i*sin(wt) eiwt=cos(wt) i∗sin(wt)不难发现， e i w t e^{iwt} eiwt由同频率的三角函数相加组成。至此我们可以直观的看出，信号$f(t)$与 e i w t e^{iwt} eiwt的内积，只有信号$f(t)$与 e i w t e^{iwt} eiwt同频的分量才会有内积的结果，其余分量内积为0。

    傅里叶变换的本质就是内积，而内积的对象是由同频三角函数组成的 e i w t e^{iwt} eiwt。通过与 e i w t e^{iwt} eiwt的内积（投影），分离出角频率为w的分量，而 ∫ − ∞ ∞ \int_{-\infty}^{ \infty} ∫−∞ ∞就是将信号每个时刻的w的分量叠加（即振幅）。
    通过选择不同的 e i w t e^{iwt} eiwt便可获取信号不同的频率分量。遍历不同的频率，即形成了频谱。
    这边还有个小问题， e i w t e^{iwt} eiwt如何与真实的信号频率对应上呢，请看下文。

2.6 傅里叶变换的频率分析

    我们通过一个例子来进行讲解。假设我们有个连续信号$f(t)=2\ast sin(2pi\ast 66.66\ast t)3\ast cos(2pi\ast 88.88\ast t)$
频率公式为：
$$f=1/T$$
    以$sin(2pi\ast 66.66\ast t)$为例，周期为$T=2pi/w=2pi/(2pi\ast 66.66)=1/66.66$,因此频率为$f=1/T=66.66hz$。同理可得$cos(2pi\ast 88.88\ast t)$的频率为$88.88hz$。因此该信号有66.66hz和88.88hz的信号。
    接下来进行信号的采集分析。
    首先需要设定采样频率，根据奈奎斯特采样定律，采样频率需至少为信号最高频率的2倍。为什么呢，可以直观的理解，根据傅里叶变换可知，获取信号频率的方法，是和 e i w t = c o s ( w t ) i ∗ s i n ( w t ) e^{iwt} = cos(wt) i*sin(wt) eiwt=cos(wt) i∗sin(wt)做内积，而在采样时，要确定信号最高频率的$cos(wt)，sin(wt)$的信息，至少需要确定2个点的位置。如下图。同理可得，最终得到的频谱中，有效的频率区间为采样频率的一半。

    可以通过这个单位圆来理解采样频率，和采样点数。采样频率代表 e i w t e^{iwt} eiwt在[0，2pi]代表的频率范围，如采样频率为200HZ，即[0，2pi]对应着0-200HZ。而采样点数就是将这0-2pi分成的份数，对应的就是变换的频率。即采样频率，确定频谱的频率范围，采样点数确定频谱的刻度的精细度。比如一把10cm量程（采样频率）的尺子，最高刻度是1cm，那尺子就是将10cm等分成10份（采样点数）。

    至此，设定仿真参数为采样频率200HZ，采样点数设为100，matlab仿真代码如下：

%% 参数设置
fs=200;     %采样频率
N=100;      %采样总数
n=0:N-1;    %采样点
t=n/fs;     %采样时间间隔
%% 结果计算
y=2*sin(2*pi*66*t) 3*sin(2*pi*88*t);  %时域计算
x=fft(y,N); %傅里叶变换
m=abs(x);   %振幅取绝对值
f=n*(fs/N);   %实际频率换算
%% 绘制结果图
plot(f,m,'-*');  
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');title('N=100');

    通过仿真图就可清晰的明白采样频率，和采样点数的意义。随着采样点的增多，频谱分析逐渐精细，最终成功分辨出66.66，和88.88HZ的频率。

2.7 结语

    至此，本人已完成自己的第一篇博客。由于为了尽可能的兼顾直观和严谨，难免存在一些纰漏，希望大家不吝赐教！
    如果大家需要详细的数学推导，在此推荐B站dr_can博士的相关视频。

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